Triangles isométriques, triangles semblables

Résumé de cours

1) Définition des Triangles isométriques :

Définition 1:

Deux triangles sont superposables lorsqu'on peut les faire coïncider par glissement ou par rotation.

Définition 2 :

Deux triangles sont isométriques s'ils sont superposables.

Exemple :

• Les triangles $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $EFG$$EFG$EFGE F G$EFG$ sont isométriques car ils sont superposables.
• On dit que les sommets $A$$A$AA$A$ et $E$$E$EE$E$ sont homologues.
• De même les sommets $B$$B$BB$B$ et $C$$C$CC$C$ sont homologues respectivement à $F$$F$FF$F$ et $G$$G$GG$G$.

• On dit que les côtes $[AB]$$[AB]$[AB][A B]$[AB]$ et $[EF]$$[EF]$[EF][E F]$[EF]$ sont homologues.
• De mêmes pour les côtes $[BC]$$[BC]$[BC][B C]$[BC]$ et $[AC]$$[AC]$[AC][A C]$[AC]$ sont homologues respectivement à $[FG]$$[FG]$[FG][F G]$[FG]$ et $[EG]$$[EG]$[EG][E G]$[EG]$.
• On dit que les angles $\widehat{BAC}$$\widehat{BAC}$hat(BAC)\hat{B A C}$\widehat{BAC}$ et $F\hat{E}G$$F\widehat{E}G$F widehat(E)GF \widehat{E} G$F\hat{E}G$ sont homologues.
• De même les angles $A\widehat{BC}$$A\widehat{BC}$A widehat(BC)A \widehat{B C}$A\widehat{BC}$ et $A\hat{C}B$$A\widehat{C}B$A widehat(C)BA \widehat{C} B$A\hat{C}B$ sont homologues respectivement à $E\hat{F}G$$E\widehat{F}G$E widehat(F)GE \widehat{F} G$E\hat{F}G$ et $E\widehat{GF}$$E\widehat{GF}$E widehat(GF)E \widehat{G F}$E\widehat{GF}$.

Résultats :

1. Deux triangles sont isométriques lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
2. Si deux triangles sont isométriques alors ils ont la même aire.
3. Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont deux à deux de même mesure. La réciproque est fausse.

Exemple :

RST et $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$ sont deux triangles isométriques, On a :

• $RS=NK,ST=NM$$RS=NK,ST=NM$RS=NK,ST=NMR S=N K, S T=N M$RS=NK,ST=NM$ et $RT=KM$$RT=KM$RT=KMR T=K M$RT=KM$.
• $S\hat{R}T=N\hat{K}M,R\hat{S}T=K\hat{N}M$$S\widehat{R}T=N\widehat{K}M,R\widehat{S}T=K\widehat{N}M$S widehat(R)T=N widehat(K)M,R hat(S)T=K widehat(N)MS \widehat{R} T=N \widehat{K} M, R \hat{S} T=K \widehat{N} M$S\hat{R}T=N\hat{K}M,R\hat{S}T=K\hat{N}M$ et $S\hat{T}R=K\hat{M}N$$S\widehat{T}R=K\widehat{M}N$S widehat(T)R=K widehat(M)NS \widehat{T} R=K \widehat{M} N$S\hat{T}R=K\hat{M}N$.
• $\mathrm{Aire}(RST)=\mathrm{Aire}(KMN)$$\mathrm{Aire}(RST)=\mathrm{Aire}(KMN)$Aire(RST)=Aire(KMN)\operatorname{Aire}(R S T)=\operatorname{Aire}(K M N)$\mathrm{Aire}(RST)=\mathrm{Aire}(KMN)$.
  

  

2) Propriétés des triangles isométriques:

Propriété 1 :

Si chacun de deux triangles possède un angle compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques.

Exemple : - Montrer que $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $PMN$$PMN$PMNP M N$PMN$ sont isométriques :

On a : $AB=MN=4,5\mathrm{c}\mathrm{m},AC=MP=5\mathrm{c}\mathrm{m}$$AB=MN=4,5\mathrm{c}\mathrm{m},AC=MP=5\mathrm{c}\mathrm{m}$AB=MN=4,5cm,AC=MP=5cmA B=M N=4,5 \mathrm{~cm}, A C=M P=5 \mathrm{~cm}$AB=MN=4,5\mathrm{c}\mathrm{m},AC=MP=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ et $\widehat{BAC}=N\hat{M}P={41}^{\circ }$$\widehat{BAC}=N\widehat{M}P={41}^{\circ }$widehat(BAC)=N widehat(M)P=41^(@)\widehat{B A C}=N \widehat{M} P=41^{\circ}$\widehat{BAC}=N\hat{M}P={41}^{\circ }$.

Alors les triangles $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $PMN$$PMN$PMNP M N$PMN$ sont isométriques.

Propriété 2 :

Si deux triangles ont un côté de même longueur, adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont isométriques.

Exemple : - Montrer que $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $PMN$$PMN$PMNP M N$PMN$ sont isométriques :

On a : $\widehat{RST}=\widehat{EF}G={72}^{\circ },\widehat{STR}=F\hat{E}G={63}^{\circ }$$\widehat{RST}=\widehat{EF}G={72}^{\circ },\widehat{STR}=F\widehat{E}G={63}^{\circ }$hat(RST)= hat(EF)G=72^(@), hat(STR)=F widehat(E)G=63^(@)\hat{R S T}=\hat{E F} G=72^{\circ}, \hat{S T R}=F \widehat{E} G=63^{\circ}$\widehat{RST}=\widehat{EF}G={72}^{\circ },\widehat{STR}=F\hat{E}G={63}^{\circ }$ et $ST=EF$$ST=EF$ST=EFS T=E F$ST=EF$.

Alors les triangles $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $PMN$$PMN$PMNP M N$PMN$ sont isométriques.

3) Définition des Triangles semblables:

Définition :

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement de même mesure.

Résultat :

Deux triangles semblables ont des côtés proportionnels.

Exemple : . Les triangles $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $EFG$$EFG$EFGE F G$EFG$ sont semblables.

• Les angles $\widehat{BAC},\widehat{ABC}$$\widehat{BAC},\widehat{ABC}$widehat(BAC), hat(ABC)\widehat{B A C}, \hat{A B C}$\widehat{BAC},\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$$\widehat{ACB}$widehat(ACB)\widehat{A C B}$\widehat{ACB}$ sont respectivement semblables à $F\hat{E}G,E\hat{F}G$$F\widehat{E}G,E\widehat{F}G$F widehat(E)G,E widehat(F)GF \widehat{E} G, E \widehat{F} G$F\hat{E}G,E\hat{F}G$ et $E\hat{G}F$$E\widehat{G}F$E widehat(G)FE \widehat{G} F$E\hat{G}F$.

-On a : $\widehat{BAC}=\widehat{FE}G,A\hat{B}C=E\hat{F}G$$\widehat{BAC}=\widehat{FE}G,A\widehat{B}C=E\widehat{F}G$hat(BAC)= hat(FE)G,A hat(B)C=E widehat(F)G\hat{B A C}=\hat{F E} G, A \hat{B} C=E \widehat{F} G$\widehat{BAC}=\widehat{FE}G,A\hat{B}C=E\hat{F}G$ et $\widehat{AC}B=E\hat{G}F$$\widehat{AC}B=E\widehat{G}F$hat(AC)B=E widehat(G)F\hat{A C} B=E \widehat{G} F$\widehat{AC}B=E\hat{G}F$

• Les côtés $[AB],[BC]$$[AB],[BC]$[AB],[BC][A B],[B C]$[AB],[BC]$ et $[AC]$$[AC]$[AC][A C]$[AC]$ sont homologues respectivement à $[EF],[FG]$$[EF],[FG]$[EF],[FG][E F],[F G]$[EF],[FG]$ et $[EG]$$[EG]$[EG][E G]$[EG]$.
• On a : $\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{EG}=\frac{BC}{FG}$$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{EG}=\frac{BC}{FG}$(AB)/(EF)=(AC)/(EG)=(BC)/(FG)\frac{A B}{E F}=\frac{A C}{E G}=\frac{B C}{F G}$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{EG}=\frac{BC}{FG}$.
  

  

Remarques :

Si deux triangles sont isométriques alors ils sont semblables.

Par contre, deux triangles semblables ne sont pas forcément isométriques.

4) Propriétés des Triangles semblables:

Propriété 1:

Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.

Exemple : "Montrer que $SPT$$SPT$SPTS P T$SPT$ et $DKL$$DKL$DKLD K L$DKL$ sont semblables :

On a : $K\hat{D}L=T\hat{S}P$$K\widehat{D}L=T\widehat{S}P$K widehat(D)L=T hat(S)PK \widehat{D} L=T \hat{S} P$K\hat{D}L=T\hat{S}P$ et $D\hat{L}K=S\widehat{PP}$$D\widehat{L}K=S\widehat{PP}$D widehat(L)K=S hat(PP)D \widehat{L} K=S \hat{P P}$D\hat{L}K=S\widehat{PP}$.

Alors les triangles $SPT$$SPT$SPTS P T$SPT$ et $DKL$$DKL$DKLD K L$DKL$ sont semblables.

Les sommets homologues :

$SPT$$SPT$SPTS P T$SPT$	$S$$S$SS$S$	$P$$P$PP$P$	$T$$T$TT$T$
$DKL$$DKL$DKLD K L$DKL$	$D$$D$DD$D$	$L$$L$LL$L$	$K$$K$KK$K$

SPT S P T DKL D L K| $S P T$ | $S$ | $P$ | $T$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $D K L$ | $D$ | $L$ | $K$ |

Propriété 2 :

Si deux triangles ont un angle de même mesure et que le rapport des deux côtés adjacents à cet angle est égal au rapport des côtés homologues alors ils sont semblables.

Exemple : "Montrer que RPS et $EHD$$EHD$EHDE H D$EHD$ sont semblables :

$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}H\hat{E}D=P\hat{R}S={60}^{\circ },\\ & \frac{EH}{RP}=\frac{4,8}{3,2}=1,5\text{et}\frac{ED}{RS}=\frac{8,4}{5,6}=1,5\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}H\widehat{E}D=P\widehat{R}S={60}^{\circ },\\ & \frac{EH}{RP}=\frac{4,8}{3,2}=1,5\text{et}\frac{ED}{RS}=\frac{8,4}{5,6}=1,5\text{.}\end{array}$${:[" On a : "H hat(E)D=P hat(R)S=60^(@)","],[(EH)/(RP)=(4,8)/(3,2)=1","5" et "(ED)/(RS)=(8,4)/(5,6)=1","5". "]:}\begin{aligned} & \text { On a : } H \hat{E} D=P \hat{R} S=60^{\circ}, \\ & \frac{E H}{R P}=\frac{4,8}{3,2}=1,5 \text { et } \frac{E D}{R S}=\frac{8,4}{5,6}=1,5 \text {. } \end{aligned}$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}H\hat{E}D=P\hat{R}S={60}^{\circ },\\ & \frac{EH}{RP}=\frac{4,8}{3,2}=1,5\text{et}\frac{ED}{RS}=\frac{8,4}{5,6}=1,5\text{.}\end{array}$$

Donc les triangles RPS et EHD sont semblables.

Propriété 3 :

Lorsque deux triangles ont des côtés de longueurs deux à deux proportionnelles, alors ils sont semblables.

Exemple : - Montrer que $ARG$$ARG$ARGA R G$ARG$ et $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$ sont semblables :

$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}\frac{RG}{MN}=\frac{7,2}{4}=1,8,\frac{AG}{MK}=\frac{4,5}{2,5}=1,8\\ & \text{et}\frac{AR}{KN}=\frac{5,4}{3}=1,8.\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}\frac{RG}{MN}=\frac{7,2}{4}=1,8,\frac{AG}{MK}=\frac{4,5}{2,5}=1,8\\ & \text{et}\frac{AR}{KN}=\frac{5,4}{3}=1,8.\end{array}$${:[" On a : "(RG)/(MN)=(7,2)/(4)=1","8","(AG)/(MK)=(4,5)/(2,5)=1","8],[" et "(AR)/(KN)=(5,4)/(3)=1","8.]:}\begin{aligned} & \text { On a : } \frac{R G}{M N}=\frac{7,2}{4}=1,8, \frac{A G}{M K}=\frac{4,5}{2,5}=1,8 \\ & \text { et } \frac{A R}{K N}=\frac{5,4}{3}=1,8 . \end{aligned}$$\begin{array}{rl}& \text{On a :}\frac{RG}{MN}=\frac{7,2}{4}=1,8,\frac{AG}{MK}=\frac{4,5}{2,5}=1,8\\ & \text{et}\frac{AR}{KN}=\frac{5,4}{3}=1,8.\end{array}$$

Alors les triangles $ARG$$ARG$ARGA R G$ARG$ et $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$ sont semblables.

Remarque :

Si deux triangles $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ et $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$ sont semblables, alors les côtés homologues sont proportionnels.

C.à.d. : Il existe un nombre réel strictement positif tel que :

$\frac{AB}{KM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NK}=k$$\frac{AB}{KM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NK}=k$(AB)/(KM)=(BC)/(MN)=(CA)/(NK)=k\frac{A B}{K M}=\frac{B C}{M N}=\frac{C A}{N K}=k$\frac{AB}{KM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NK}=k$.

$K$$K$KK$K$ est appelé coefficient de similitude.

• Si $k<1$$k<1$k < 1k<1$k<1$, alors le triangle $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ est une réduction du triangle $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$.
• Si $k=1$$k=1$k=1k=1$k=1$, alors le triangle $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$ et $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ sont isométriques.
• Si $k>1$$k>1$k > 1k>1$k>1$, alors le triangle $ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ est un agrandissement du triangle $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$.
  

  

$ABC$$ABC$ABCA B C$ABC$ est une réduction du triangle $KMN$$KMN$KMNK M N$KMN$.

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