Chapitre 3: Nombres réels : ordre et opérations

1) Ordre et comparaison de deux nombres réels :

Définition : Soient $�$ et $�$ deux nombres réels quelconques :

• Si $�-�\ge 0$, alors $�\ge �$.
• Si $�-�\le 0$, alors $�\le �$.
• Si $�-�=0$, alors $�=�$.

Remarque : Pour comparer deux nombres réels $�$ et $�$, il suffit de déterminer le signe de leur différence $(�-�)$.

Exemples : a) Comparons les nombres $\frac{3}{7}$ et $\frac{9}{11}$. On a : $\frac{3}{7}-\frac{9}{11}=\frac{-30}{77}$. Puisque $\frac{-30}{77}<0$, alors $\frac{3}{7}<\frac{9}{11}$.

b) Soit $�$ un réel tel que $�<1$. Comparons les nombres $3�-2$ et $2�$. On a : $(3�-2)-2�=�-2$. Puisque $�-2<�-1<0$, alors $3�-2<2�$.

2) Ordre et opérations :

1) Ordre et addition :

Propriété 1 : Soient $�$, $�$, $�$, et $�$ des nombres réels quelconques :

• Si $�\le �$, alors $�+�\le �+�$ (ajouter le même réel des deux côtés d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité).
• Si $�\le �$, alors $�-�\le �-�$ (soustraire le même réel des deux côtés d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité).
• Si $�\le �$ et $�\le �$, alors $�+�\le �+�$.

• Exemples :

  a) Comparons les nombres suivants : $(-6+\sqrt{3})$ et $(\sqrt{3}-4)$. On a : $-6<-4$, donc $-6+\sqrt{3}<-4+\sqrt{3}$.

  b) Comparons les nombres suivants : $(5+\sqrt{4})$ et $(4�+3)$. On a : $5<4�$ et $\sqrt{4}<3$, donc $5+\sqrt{4}<4�+3$.

  Attention : On n'a pas le droit de soustraire membre à membre deux inégalités. Exemple : On a : $3<\sqrt{15}$ et $1<\sqrt{10}$, mais l'inégalité $3-1<\sqrt{15}-\sqrt{10}$ est fausse.

  2) Ordre et multiplication : Propriété 1 : Soient $�$, $�$ et $�$ trois nombres réels.

  • Si $�\le �$ et $�\ge 0$, alors $�\times �\le �\times �$.
  • Si $�\le �$ et $�\le 0$, alors $�\times �\ge �\times �$.
  • Si $�\le �$ et $�>0$, alors $\frac{�}{�}\le \frac{�}{�}$.
  • Si $�\le �$ et $�<0$, alors $\frac{�}{�}\ge \frac{�}{�}$.

  Autrement dit :

  • Multiplier ou diviser chaque membre d'une inégalité par un même réel strictement positif ne change pas le symbole de l'inégalité.
  • Multiplier ou diviser chaque membre d'une inégalité par un même réel strictement négatif change le symbole de l'inégalité.

  Exemples :

  a) $�$ est un réel tel que $�\ge 0.5$, comparons $2�$ et 1. On a : $�\ge 0.5$, donc $2\times �\le 2\times 0.5$. Donc $2�\le 1$.

  b) Comparons les réels suivants : $\sqrt{24}$ et $2�$. On a : $\frac{\sqrt{24}}{2}=\sqrt{6}$ et $\frac{2�}{2}=�$. Or $�>\sqrt{6}$. Donc $2�>\sqrt{24}$.

• Remarque :

  Si $�\le �$, alors $-�\ge -�$ (car on a multiplié les deux membres par $-1$).

  Propriété 2 : Soient $�,�,�$ et $�$ des nombres réels positifs. Si $�\le �$ et $�\le �$, alors $�\times �\le �\times �$.

  Autrement dit :

  • Si on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens dont tous les membres sont positifs, alors on obtient une nouvelle inégalité encore de même sens. $⟹$ Exemple: On a : $�<2\sqrt{3}$ et $\sqrt{2}<\sqrt{3}$. Alors $\sqrt{2}\times �<\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}$. D'où $�\sqrt{2}<6$.

  3) L'ordre et les nombres réels positifs :

  Propriété 1 (Comparer l'inverse de deux réels strictement positifs) : Soient $�$ et $�$ deux nombres réels strictement positifs: Si $�\le �$, alors $\frac{1}{�}\ge \frac{1}{�}$. Si $�<�$, alors $\frac{�}{�}<1$. Si $�>�$, alors $\frac{�}{�}>1$. $⟶$ Exemple : a) Nous avons $\sqrt{7}>2$, alors $\frac{1}{\sqrt{7}}<\frac{1}{2}$. b) Nous avons $2-\sqrt{3}<3-\sqrt{2}$, alors $\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}}<1$.

  Propriété 2 (Comparer le carré de deux réels positifs): Soient $�$ et $�$ deux nombres réels positifs.

  • Si $�\le �$, alors ${�}^2\le {�}^2$.
  • Si ${�}^2\le {�}^2$, alors $�\le �$.

  Autrement dit : L'ordre de deux nombres réels positifs est le même que leurs carrés. $⟹$ Exemple : Comparons $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$ : On a : $(2\sqrt{5}{)}^2=20$ et $(3\sqrt{2}{)}^2=18$. Puisque $20>18$, alors $(2\sqrt{5}{)}^2>(3\sqrt{2}{)}^2$. Donc $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$ car $2\sqrt{5}$ et $3\sqrt{2}$ sont positifs.

  Remarque : Soit $�$ un réel strictement positif :

  Propriété 3 (Comparer les racines carrées de deux réels positifs) : Soient $�$ et $�$ deux nombres réels positifs :

  • Si $�\le �$, alors $\sqrt{�}\le \sqrt{�}$.
  • Si $\sqrt{�}\le \sqrt{�}$, alors $�\le �$.

  Autrement dit : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées. $⟹$Exemple: On a

  $3+\sqrt{�}>�+\sqrt{3}$ donc $\sqrt{3+\sqrt{�}}>\sqrt{�+\sqrt{3}}$ puisque les deux nombres sont positifs.

  4) Encadrement et opérations : Propriété : Soient $�,�$ et $�$ trois nombres réels. On dit que le réel $�$ est encadré par les réels $�$ et $�$ si : $�\le �\le �$. Cette écriture s'appelle encadrement de $�$ d'amplitude $�-�$. $⟹$Exemples: L'écriture $3,14\le �\le 3,15$ est un encadrement de $�$, d'amplitude égale à : $3,15-3,14=0,01$.

  Remarque:

  1. Les écritures $�<�<�$, $�\le �<�$ et $�<�\le �$ sont aussi des encadrements de $�$.
  2. Encadrer un nombre réel $�$ c'est trouver un réel inférieur à $�$ et un autre supérieur à $�$. $⟹$ Exemples: On considère le réel $�$ tel que $\frac{1}{4}<�<\frac{3}{2}$. Encadrer les réels $5�$ et ${�}^2$. On a : $\frac{1}{4}<�<\frac{3}{2}$, alors $5\times \frac{1}{4}<5\times �<5\times \frac{3}{2}$. Donc $\frac{5}{4}<5�<\frac{15}{2}$.
  3. On a : $\frac{1}{4}<�<\frac{3}{2}$, alors ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2<{�}^2<{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$. Donc $\frac{1}{9}<{�}^2<\frac{9}{4}$.

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