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Chapitre 6: Trigonométrie

Abdelkerim AIT ATTA Abdelkerim AIT ATTA
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Résumé de cours

1) Cosinus d'un angle aigu :

Définition :

Soient A B C A B C ABCA B CABC aun triangle rectangle en A A AAA et x x xxx la mesure de l'angle aigu A B C ^ ⋅ ( 0 ∘ < x < 90 ∘ ) A B C ^ ⋅ 0 ∘ < x < 90 ∘ hat(ABC)*(0^(@) < x < 90^(@))\hat{A B C} \cdot\left(0^{\circ}<x<90^{\circ}\right)ABC^⋅(0∘<x<90∘).
Le cosinus de l'angle A B C ^ A B C ^ hat(ABC)\hat{A B C}ABC^ est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
cos ⁡ ( x ) = longueur du coté adjacent à l'angle A B C ^ longueur de l'hypoténuse = A B B C cos ⁡ ( x ) =  longueur du coté adjacent à l'angle  A B C ^  longueur de l'hypoténuse  = A B B C cos(x)=(" longueur du coté adjacent à l'angle "A( widehat(BC)))/(" longueur de l'hypoténuse ")=(AB)/(BC)\cos (x)=\frac{\text { longueur du coté adjacent à l'angle } A \widehat{B C}}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{A B}{B C}cos⁡(x)= longueur du coté adjacent à l'angle ABC^ longueur de l'hypoténuse =ABBC

Remarque :

  • Dans un triangle A B C A B C ABCA B CABC rectangle en A A AAA, on a: A B < B C A B < B C AB < BCA B<B CAB<BC.
Donc le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 . ( 0 < cos ⁡ ( x ) < 1 ) 1 . ( 0 < cos ⁡ ( x ) < 1 ) 1.(0 < cos(x) < 1)1 .(0<\cos (x)<1)1.(0<cos⁡(x)<1) - Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

Exemple 1:

D M N D M N DMND M NDMN est un triangle rectangle en D D DDD tel que :
D N = 8 c m , D M = 6 c m D N = 8 c m , D M = 6 c m DN=8cm,DM=6cmD N=8 \mathrm{~cm}, D M=6 \mathrm{~cm}DN=8 cm,DM=6 cm et M N = 10 c m M N = 10 c m MN=10cmM N=10 \mathrm{~cm}MN=10 cm.
Calculons cos ⁡ ( D M ^ N ) cos ⁡ ( D M ^ N ) cos( widehat(DM)N)\cos (\widehat{D M} N)cos⁡(DM^N) et cos ⁡ ( D N ^ M ) cos ⁡ ( D N ^ M ) cos(D widehat(N)M)\cos (D \widehat{N} M)cos⁡(DN^M).
cos ⁡ ( D M ^ N ) = D M M N = 6 10 = 0 , 6 cos ⁡ ( D M ^ N ) = D M M N = 6 10 = 0 , 6 cos(D widehat(M)N)=(DM)/(MN)=(6)/(10)=0,6\cos (D \widehat{M} N)=\frac{D M}{M N}=\frac{6}{10}=0,6cos⁡(DM^N)=DMMN=610=0,6 et cos ⁡ ( D N ^ M ) = D N M N = 8 10 = 0 , 8 cos ⁡ ( D N ^ M ) = D N M N = 8 10 = 0 , 8 cos(D widehat(N)M)=(DN)/(MN)=(8)/(10)=0,8\cos (D \widehat{N} M)=\frac{D N}{M N}=\frac{8}{10}=0,8cos⁡(DN^M)=DNMN=810=0,8.

Exemple 2:

Soit A B C A B C ABCA B CABC un triangle rectangle en A A AAA tel que : A B ^ C = 60 ∘ A B ^ C = 60 ∘ A widehat(B)C=60^(@)A \widehat{B} C=60^{\circ}AB^C=60∘
et A B = 7 c m A B = 7 c m AB=7cmA B=7 \mathrm{~cm}AB=7 cm Calculons la longueur de l'hypoténuse B C B C BCB CBC.
On a cos ⁡ ( A B C ^ ) = A B B C cos ⁡ ( A B C ^ ) = A B B C cos( hat(ABC))=(AB)/(BC)\cos (\hat{A B C})=\frac{A B}{B C}cos⁡(ABC^)=ABBC et en utilisant la calculatrice, on trouve :
cos ⁡ ( A B C ^ ) = cos ⁡ ( 60 ∘ ) = 0 , 5 cos ⁡ ( A B C ^ ) = cos ⁡ 60 ∘ = 0 , 5 cos( widehat(ABC))=cos(60^(@))=0,5\cos (\widehat{A B C})=\cos \left(60^{\circ}\right)=0,5cos⁡(ABC^)=cos⁡(60∘)=0,5.
Donc 7 B C = 0 , 5 7 B C = 0 , 5 (7)/(BC)=0,5\frac{7}{B C}=0,57BC=0,5. D'où B C = 7 0 , 5 = 14 c m B C = 7 0 , 5 = 14 c m BC=(7)/(0,5)=14cmB C=\frac{7}{0,5}=14 \mathrm{~cm}BC=70,5=14 cm.

2) Sinus d'un angle aigu :

Définition :

Soient A B C A B C ABCA B CABC un triangle rectangle en A A AAA et x x xxx la mesure de l'angle aigu A B C ^ A B C ^ hat(ABC)\hat{A B C}ABC^.
Le sinus de l'angle A B C ^ A B C ^ widehat(ABC)\widehat{A B C}ABC^ est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
sin ⁡ ( x ) = longueur du coté opposé à l'angle A B C ^ longueur de l'hypoténuse = A C B C sin ⁡ ( x ) =  longueur du coté opposé à l'angle  A B C ^  longueur de l'hypoténuse  = A C B C sin(x)=(" longueur du coté opposé à l'angle "( widehat(ABC)))/(" longueur de l'hypoténuse ")=(AC)/(BC)\sin (x)=\frac{\text { longueur du coté opposé à l'angle } \widehat{A B C}}{\text { longueur de l'hypoténuse }}=\frac{A C}{B C}sin⁡(x)= longueur du coté opposé à l'angle ABC^ longueur de l'hypoténuse =ACBC

Remarque :

  • Dans un triangle A B C A B C ABCA B CABC rectangle en A A AAA, on a : A C < B C A C < B C AC < BCA C<B CAC<BC.
Donc le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 . ( 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 ) 1 . ( 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 ) 1.(0 < sin(x) < 1)1 .(0<\sin (x)<1)1.(0<sin⁡(x)<1) - Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

Exemple 1:

D K L D K L DKLD K LDKL est un triangle rectangle en D D DDD tel que : D K = 5 c m , D L = 4 c m D K = 5 c m , D L = 4 c m DK=5cm,DL=4cmD K=5 \mathrm{~cm}, D L=4 \mathrm{~cm}DK=5 cm,DL=4 cm et K L = 41 c m K L = 41 c m KL=sqrt41cmK L=\sqrt{41} \mathrm{~cm}KL=41 cm. Calculons sin ⁡ ( D K ^ L ) sin ⁡ ( D K ^ L ) sin(D widehat(K)L)\sin (D \widehat{K} L)sin⁡(DK^L) et sin ⁡ ( D L K ^ ) sin ⁡ ( D L K ^ ) sin(D hat(LK))\sin (D \hat{L K})sin⁡(DLK^).
sin ⁡ ( D K ^ L ) = D L K L = 4 14 sin ⁡ ( D K ^ L ) = D L K L = 4 14 sin(D widehat(K)L)=(DL)/(KL)=(4)/(sqrt14)\sin (D \widehat{K} L)=\frac{D L}{K L}=\frac{4}{\sqrt{14}}sin⁡(DK^L)=DLKL=414 et sin ⁡ ( D L ^ K ) = D K K L = 5 14 sin ⁡ ( D L ^ K ) = D K K L = 5 14 sin(D hat(L)K)=(DK)/(KL)=(5)/(sqrt14)\sin (D \hat{L} K)=\frac{D K}{K L}=\frac{5}{\sqrt{14}}sin⁡(DL^K)=DKKL=514.

Exemple 2:

S A B S A B SABS A BSAB est un triangle rectangle en S S SSS tel que : S B ^ A = 45 ∘ S B ^ A = 45 ∘ S widehat(B)A=45^(@)S \widehat{B} A=45^{\circ}SB^A=45∘ et
A B = 8 c m A B = 8 c m AB=8cmA B=8 \mathrm{~cm}AB=8 cm
Calculons la longueur S A S A SAS ASA.
On a sin ⁡ ( S B ^ A ) = S A A B sin ⁡ ( S B ^ A ) = S A A B sin(S widehat(B)A)=(SA)/(AB)\sin (S \widehat{B} A)=\frac{S A}{A B}sin⁡(SB^A)=SAAB, en utilisant la calculatrice, on trouve
sin ⁡ ( S B A ^ ) = sin ⁡ ( 45 ∘ ) ≈ 0 , 7 sin ⁡ ( S B A ^ ) = sin ⁡ 45 ∘ ≈ 0 , 7 sin( widehat(SBA))=sin(45^(@))~~0,7\sin (\widehat{S B A})=\sin \left(45^{\circ}\right) \approx 0,7sin⁡(SBA^)=sin⁡(45∘)≈0,7.
Donc S A A B ≈ 0 , 7 S A A B ≈ 0 , 7 (SA)/(AB)~~0,7\frac{S A}{A B} \approx 0,7SAAB≈0,7.
D'où S A ≈ 0 , 7 × A B ≈ 0 , 7 × 8 ≈ 5 , 6 c m S A ≈ 0 , 7 × A B ≈ 0 , 7 × 8 ≈ 5 , 6 c m SA~~0,7xx AB~~0,7xx8~~5,6cmS A \approx 0,7 \times A B \approx 0,7 \times 8 \approx 5,6 \mathrm{~cm}SA≈0,7×AB≈0,7×8≈5,6 cm.

3) Tangente d'un angle aigu :

Définition :

Soient A B C A B C ABCA B CABC un triangle rectangle en A A AAA et x x xxx la mesure de l'angle aigu A B C ^ A B C ^ hat(ABC)\hat{A B C}ABC^.
La tangente de l'angle A B ^ C A B ^ C A widehat(B)CA \widehat{B} CAB^C est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de son côté adjacent.
tan ⁡ ( x ) = longueur du coté opposé à l'angle A B C ^ longueur du coté adjacent à l'angle A B C ^ = A C A B tan ⁡ ( x ) =  longueur du coté opposé à l'angle  A B C ^  longueur du coté adjacent à l'angle  A B C ^ = A C A B tan(x)=(" longueur du coté opposé à l'angle "( widehat(ABC)))/(" longueur du coté adjacent à l'angle "( widehat(ABC)))=(AC)/(AB)\tan (x)=\frac{\text { longueur du coté opposé à l'angle } \widehat{A B C}}{\text { longueur du coté adjacent à l'angle } \widehat{A B C}}=\frac{A C}{A B}tan⁡(x)= longueur du coté opposé à l'angle ABC^ longueur du coté adjacent à l'angle ABC^=ACAB

Remarque :

La tangente d'un angle aigu est un nombre réel supérieur à 0 .
  • La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.

Exemple 1:

E G H E G H EGHE G HEGH est un triangle rectangle en E E EEE tel que :
E H = 6 c m , E G = 2 c m E H = 6 c m , E G = 2 c m EH=6cm,EG=2cmE H=6 \mathrm{~cm}, E G=2 \mathrm{~cm}EH=6 cm,EG=2 cm et G H = 2 10 c m G H = 2 10 c m GH=2sqrt10cmG H=2 \sqrt{10} \mathrm{~cm}GH=210 cm.
Calculons tan ⁡ ( E H ^ G ) tan ⁡ ( E H ^ G ) tan(E widehat(H)G)\tan (E \widehat{H} G)tan⁡(EH^G) et tan ⁡ ( E G ^ H ) tan ⁡ ( E G ^ H ) tan(E widehat(G)H)\tan (E \widehat{G} H)tan⁡(EG^H).
tan ⁡ ( E H ^ G ) = E G E H = 2 6 = 1 3 tan ⁡ ( E H ^ G ) = E G E H = 2 6 = 1 3 tan(E widehat(H)G)=(EG)/(EH)=(2)/(6)=(1)/(3)\tan (E \widehat{H} G)=\frac{E G}{E H}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}tan⁡(EH^G)=EGEH=26=13 et tan ⁡ ( E G ^ H ) = E H E G = 6 2 = 3 tan ⁡ ( E G ^ H ) = E H E G = 6 2 = 3 tan(E widehat(G)H)=(EH)/(EG)=(6)/(2)=3\tan (E \widehat{G} H)=\frac{E H}{E G}=\frac{6}{2}=3tan⁡(EG^H)=EHEG=62=3.

Exemple 2:

D H C D H C DHCD H CDHC est un triangle rectangle en H H HHH tel que :
H C ^ D = 30 ∘ H C ^ D = 30 ∘ H widehat(C)D=30^(@)H \widehat{C} D=30^{\circ}HC^D=30∘ et D K = 5 c m D K = 5 c m DK=5cmD K=5 \mathrm{~cm}DK=5 cm. Calculons la distance H C H C HCH CHC.
On a : tan ⁡ ( D C ^ H ) = H D H C tan ⁡ ( D C ^ H ) = H D H C tan(D hat(C)H)=(HD)/(HC)\tan (D \hat{C} H)=\frac{H D}{H C}tan⁡(DC^H)=HDHC, D'après la calculatrice,
on trouve tan ⁡ ( D C ^ H ) = tan ⁡ ( 30 ∘ ) ≈ 0 , 57 tan ⁡ ( D C ^ H ) = tan ⁡ 30 ∘ ≈ 0 , 57 tan(D hat(C)H)=tan(30^(@))~~0,57\tan (D \hat{C} H)=\tan \left(30^{\circ}\right) \approx 0,57tan⁡(DC^H)=tan⁡(30∘)≈0,57. Donc H D H C ≈ 0 , 57 H D H C ≈ 0 , 57 (HD)/(HC)~~0,57\frac{H D}{H C} \approx 0,57HDHC≈0,57.
D'où H C ≈ H D 0 , 57 ≈ 5 0 , 57 ≈ 8 , 77 c m H C ≈ H D 0 , 57 ≈ 5 0 , 57 ≈ 8 , 77 c m HC~~(HD)/(0,57)~~(5)/(0,57)~~8,77cmH C \approx \frac{H D}{0,57} \approx \frac{5}{0,57} \approx 8,77 \mathrm{~cm}HC≈HD0,57≈50,57≈8,77 cm.

Remarque :

L'utilisation du cosinus, du sinus et de la tangente dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs ou des mesures d'angles.

4) Formules trigonométriques :

Propriété 1:

Soit x x xxx la mesure d'un angle aigu dans un triangle ( 0 < x < 90 ∘ ) 0 < x < 90 ∘ (0 < x < 90^(@))\left(0<x<90^{\circ}\right)(0<x<90∘), on a :
cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) = 1 tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) = 1      tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) [cos^(2)(x)+sin^(2)(x)=1,tan(x)=(sin(x))/(cos(x))]\begin{array}{l|l} \hline \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 & \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ \hline \end{array}cos2⁡(x)+sin2⁡(x)=1tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)

Exemple :

Soit α α alpha\alphaα la mesure d'un angle aigu telle que : cos ⁡ ( α ) = 0 , 3 cos ⁡ ( α ) = 0 , 3 cos(alpha)=0,3\cos (\alpha)=0,3cos⁡(α)=0,3. Calculons sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) sin(alpha)\sin (\alpha)sin⁡(α) et tan ⁡ ( α ) tan ⁡ ( α ) tan(alpha)\tan (\alpha)tan⁡(α).
Le calcul de sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) sin(alpha)\sin (\alpha)sin⁡(α) :
On a : sin 2 ⁡ ( α ) + cos 2 ⁡ ( α ) = 1 sin 2 ⁡ ( α ) + cos 2 ⁡ ( α ) = 1 sin^(2)(alpha)+cos^(2)(alpha)=1\sin ^{2}(\alpha)+\cos ^{2}(\alpha)=1sin2⁡(α)+cos2⁡(α)=1
C.-à-d. sin 2 ⁡ ( α ) = 1 − cos 2 ⁡ ( α ) = 1 − ( 0 , 3 ) 2 = 1 − 0 , 09 sin 2 ⁡ ( α ) = 1 − cos 2 ⁡ ( α ) = 1 − ( 0 , 3 ) 2 = 1 − 0 , 09 sin^(2)(alpha)=1-cos^(2)(alpha)=1-(0,3)^(2)=1-0,09\sin ^{2}(\alpha)=1-\cos ^{2}(\alpha)=1-(0,3)^{2}=1-0,09sin2⁡(α)=1−cos2⁡(α)=1−(0,3)2=1−0,09
Alors sin 2 ⁡ ( α ) = 0 , 91 sin 2 ⁡ ( α ) = 0 , 91 sin^(2)(alpha)=0,91\sin ^{2}(\alpha)=0,91sin2⁡(α)=0,91.
Donc sin ⁡ ( α ) = 0 , 91 sin ⁡ ( α ) = 0 , 91 sin(alpha)=sqrt(0,91)\sin (\alpha)=\sqrt{0,91}sin⁡(α)=0,91 ou sin ⁡ ( α ) = − 0 , 91 sin ⁡ ( α ) = − 0 , 91 sin(alpha)=-sqrt(0,91)\sin (\alpha)=-\sqrt{0,91}sin⁡(α)=−0,91
Or 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 0 < sin(x) < 10<\sin (x)<10<sin⁡(x)<1
D'où sin ⁡ ( α ) = 0 , 91 ≈ 0 , 96 sin ⁡ ( α ) = 0 , 91 ≈ 0 , 96 sin(alpha)=sqrt(0,91)~~0,96\sin (\alpha)=\sqrt{0,91} \approx 0,96sin⁡(α)=0,91≈0,96.
Le calcul de tan ⁡ ( α ) tan ⁡ ( α ) tan(alpha)\tan (\alpha)tan⁡(α) :
On a tan ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) tan ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) tan(alpha)=(sin(alpha))/(cos(alpha))\tan (\alpha)=\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)}tan⁡(α)=sin⁡(α)cos⁡(α).
Donc tan ⁡ ( α ) = 0 , 91 0 , 3 ≈ 3 , 17 tan ⁡ ( α ) = 0 , 91 0 , 3 ≈ 3 , 17 tan(alpha)=(sqrt(0,91))/(0,3)~~3,17\tan (\alpha)=\frac{\sqrt{0,91}}{0,3} \approx 3,17tan⁡(α)=0,910,3≈3,17.

Propriété 2 :

Soit x x xxx la mesure d'un angle aigu dans un triangle, on a :
cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( 90 ∘ − x ) sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( 90 ∘ − x ) tan ⁡ ( x ) = 1 tan ⁡ ( 90 ∘ − x ) cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ 90 ∘ − x sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ 90 ∘ − x tan ⁡ ( x ) = 1 tan ⁡ 90 ∘ − x cos(x)=sin(90^(@)-x)quad sin(x)=cos(90^(@)-x)quad tan(x)=(1)/(tan(90^(@)-x))\cos (x)=\sin \left(90^{\circ}-x\right) \quad \sin (x)=\cos \left(90^{\circ}-x\right) \quad \tan (x)=\frac{1}{\tan \left(90^{\circ}-x\right)}cos⁡(x)=sin⁡(90∘−x)sin⁡(x)=cos⁡(90∘−x)tan⁡(x)=1tan⁡(90∘−x)

Remarque :

Si deux angles α α alpha\alphaα et β β beta\betaβ sont complémentaires ( α + β = 90 ∘ ) α + β = 90 ∘ (alpha+beta=90^(@))\left(\alpha+\beta=90^{\circ}\right)(α+β=90∘), alors :
cos ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( β ) sin ⁡ ( α ) = cos ⁡ ( β ) tan ⁡ ( α ) = 1 tan ⁡ ( β ) cos ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( β ) sin ⁡ ( α ) = cos ⁡ ( β ) tan ⁡ ( α ) = 1 tan ⁡ ( β ) cos(alpha)=sin(beta)quad sin(alpha)=cos(beta)quad tan(alpha)=(1)/(tan(beta))\cos (\alpha)=\sin (\beta) \quad \sin (\alpha)=\cos (\beta) \quad \tan (\alpha)=\frac{1}{\tan (\beta)}cos⁡(α)=sin⁡(β)sin⁡(α)=cos⁡(β)tan⁡(α)=1tan⁡(β)
On a 50 ∘ + 40 ∘ = 90 ∘ 50 ∘ + 40 ∘ = 90 ∘ 50^(@)+40^(@)=90^(@)50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}50∘+40∘=90∘
Donc cos ⁡ ( 50 ∘ ) = sin ⁡ ( 40 ∘ ) cos ⁡ 50 ∘ = sin ⁡ 40 ∘ cos(50^(@))=sin(40^(@))\cos \left(50^{\circ}\right)=\sin \left(40^{\circ}\right)cos⁡(50∘)=sin⁡(40∘)

On a 30 ∘ + 60 ∘ = 90 ∘ 30 ∘ + 60 ∘ = 90 ∘ 30^(@)+60^(@)=90^(@)30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}30∘+60∘=90∘
Donc sin ⁡ ( 30 ∘ ) = cos ⁡ ( 60 ∘ ) sin ⁡ 30 ∘ = cos ⁡ 60 ∘ sin(30^(@))=cos(60^(@))\sin \left(30^{\circ}\right)=\cos \left(60^{\circ}\right)sin⁡(30∘)=cos⁡(60∘)
On a 15 ∘ + 75 ∘ = 90 ∘ 15 ∘ + 75 ∘ = 90 ∘ 15^(@)+75^(@)=90^(@)15^{\circ}+75^{\circ}=90^{\circ}15∘+75∘=90∘
Don tan ⁡ ( 15 ∘ ) = 1 tan ⁡ ( 75 ∘ ) tan ⁡ 15 ∘ = 1 tan ⁡ 75 ∘ tan(15^(@))=(1)/(tan(75^(@)))\tan \left(15^{\circ}\right)=\frac{1}{\tan \left(75^{\circ}\right)}tan⁡(15∘)=1tan⁡(75∘)
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