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Chapitre 1: Les racines carrées

1) Définition de la racine carrée :

Définition :

La racine carrée d'un nombre réel positif

�

est le nombre positif dont le carré est égal à

�

. Ce nombre est noté

\sqrt{�}

Soient

�

�

deux nombres réels positifs, alors:

�^{2} = �

si et seulement si

� = \sqrt{�}

Exemples:

\sqrt{9} = 3 car 3^{2} = 9; \sqrt{12, 25} = 3, 5 car (3, 5)^{2} = 12, 25; \sqrt{144} = 12 car 12^{2} = 144

Remarques:

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
La racine carrée d'un nombre est toujours positif.
Parfois la racine carrée d'un nombre est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous forme décimale, ni même sous forme d'une fraction.
Le symbole $\sqrt{�}$ s'appelle le radical.

2) Racine d'un carré parfait :

Définition:

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier c-à-d que c'est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier naturel.

Exemples:

16 est un carré parfait, car

\sqrt{16} = 4

par contre 15 n'est pas un carré parfait,

car \sqrt{15} \approx 3, 873

3) Propriétés de la racine carrée :

Propriété 1 :

Pour tout nombre réel positif

�

, on a :

\sqrt{�^{2}} = �

(\sqrt{�})^{2} = �

Exemples:

\sqrt{7^{2}} = 7; (\sqrt{15})^{2} = 15; {(\sqrt{\frac{17}{2}})}^{2} = \frac{17}{2}; (\sqrt{1, 5})^{2} = 1, 5; (\sqrt{�})^{2} = � .

Remarque :

Dans ce cas on peut dire que : La racine « annule » le carré et le carré « annule » la racine carrée.

Propriété 2 :

Soit

�

un nombre réel strictement positif, on a :

\frac{\sqrt{�}}{�} = \frac{1}{\sqrt{�}}

Démonstration :

II suffit de remarquer que :

\frac{\sqrt{�}}{�} = \frac{\sqrt{�} \times \sqrt{�}}{� \times \sqrt{�}} = \frac{(\sqrt{�})^{2}}{� \sqrt{�}} = \frac{�}{� \sqrt{�}} = \frac{1}{\sqrt{�}}

Exemples:

� = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} . et � = \frac{3}{5 \sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2})^{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{3 \sqrt{2}}{10} .

4) Opérations sur les racines carrées:

Propriété 1 :

Soient

�

�

deux nombres réels positifs, on

� : \sqrt{� \times �} = \sqrt{�} \times \sqrt{�}

Autrement dit :

La racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées.

Démonstration :

� : (\sqrt{�} \times \sqrt{�})^{2} = \sqrt{�} \times \sqrt{�} \times \sqrt{�} \times \sqrt{�} = (\sqrt{�})^{2} \times (\sqrt{�})^{2} = � \times �

Donc

\sqrt{� \times �} = \sqrt{�} \times \sqrt{�}

, car

�

�

sont positifs.

Exemples :

Simplifions les nombres suivants:

� = \sqrt{3} \times \sqrt{12}

� = \sqrt{2, 5} \times \sqrt{4, 9}

� = \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6 . � = \sqrt{2, 5} \times \sqrt{4, 9} = \sqrt{2, 5 \times 4, 9} = \sqrt{12, 25} = 3, 5 .

$≫$ Attention !!!

Pour tous nombres réels positifs

�

�

avec

(� \geq �)

, on a :

\sqrt{� + �} \neq \sqrt{�} + \sqrt{�}

\sqrt{� - �} \neq \sqrt{�} - \sqrt{�}

Propriété 2:

Soient

�

�

deux nombres réels positifs avec

(� \neq 0)

, on a :

\sqrt{\frac{�}{�}} = \frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}}

Autrement dit :

Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient.

Démonstration :

On a

: {(\frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}})}^{2} = \frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}} \times \frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}} = \frac{(\sqrt{�})^{2}}{(\sqrt{�})^{2}} = \frac{�}{�}

. Donc

\sqrt{\frac{�}{�}} = \frac{\sqrt{�}}{\sqrt{�}}

, car

�

�

sont positifs

(� \neq 0)

Exemples:

\sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0, 2 . \frac{\sqrt{31, 5}}{\sqrt{3, 5}} = \sqrt{\frac{31, 5}{3, 5}} = \sqrt{9} = 3

5) Résolution de l'équation $�^{2} = �$ où $�$ est un nombre réel :

Propriété :

Soient

�

�

deux nombres réels:

Si $� = 0$ alors l'équation $�^{2} = �$ admet une seule solution, c'est 0 .
Si $� < 0$ alors l'équation $�^{2} = �$ n'admet pas de solutions.
Si $� > 0$ alors l'équation $�^{2} = �$ admet deux solutions : $\sqrt{�}$ et $- \sqrt{�}$ .

Exemples: a) L'équation

�^{2} = - 4

n'admet pas de solution car

- 4 < 0

b) L'équation

�^{2} = 7

admet comme solutions les nombres

\sqrt{7}

- \sqrt{7}

Exercices

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Propriété 1 :

Remarque :

Propriété 2 :

Démonstration :

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4) Opérations sur les racines carrées:

Propriété 1 :

Autrement dit :

Démonstration :

Exemples :

≫ Attention !!!

Propriété 2:

Autrement dit :

Démonstration :

5) Résolution de l'équation �2=� où � est un nombre réel :

Propriété :

$≫$ Attention !!!

5) Résolution de l'équation $�^{2} = �$ où $�$ est un nombre réel :